江苏省丹阳高级中学-学年度高一下期中试卷

数学（17-19班）.4

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若椭圆的右焦点为，则（）

A.6B.C.2D.

B

由题意知椭圆的焦点在x轴，从而得出b、c，然后根据求m．

因为椭圆的右焦点为，所以，，

所以，则．

故选：B．

本题主要考查椭圆的标准方程的应用，属于基础题．

2.已知曲线的方程为，则曲线在点处的切线方程为（）

A.B.C.D.

A

利用导数求出所求切线的斜率，然后利用斜截式可得出所求切线的方程.

对函数求导得，所求切线的斜率为，

因此，曲线在点处的切线方程为.

故选：A.

本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于基础题．

3.在数列中，已知，则（）

A.B.C.D.

D

由，得到，利用等比数列的定义得到数列表示首项为，公比为的等比数列，进而求得，得到答案.

由，可得，即，

又由，可得，

所以数列表示首项为，公比为的等比数列，

则，即.

故选：D.

4.已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为（）

A.或－B.或－

C.D.

B

根据等腰直角三角形边长可求得弦长，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，根据垂径定理构造方程可求得结果.

为等腰直角三角形，又，

又圆的圆心到直线距离

，解得：，

故选：B．

本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、垂径定理的应用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为，属于常考题型.

5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）

A.里B.96里C.48里D.24里

B

由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.

由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，

由题意和等比数列的求和公式可得，解得，

第此人第二天走里.

故选：B．

6.已知圆和直线，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点是，则的最大值是（）

A.B.C.D.

C

根据几何关系可知，当时，到直线上的点的距离最小，此时最大，可求出的最大值，从而可得的最大值.

如图，由几何知识可知，．所以当最大时，也最大．

当时，到直线上的点的距离最小为，此时，

所以取得最大值为，从而的最大值是.

故选：C

关键点点睛：解题关键是转化思想的应用，将角的大小与长度的大小建立关系.

7.椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，，，则（）

A.B.C.D.

C

设，，结合余弦定理可得，结合椭圆的定义可得，，，可将用进行表示，代入即可得结果.

设，，由，

∴，

由椭圆的定义可得，，，

所以，解得，

故.

故选：C.

本题主要考查焦点三角形的知识，解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，属于中档题.

8.已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

C

由已知将原不等式等价于恒成立，构造函数，求导在上恒成立，运用参变分离可得选项．

∵对于任意的，且，都有成立，

∴不等式等价为恒成立，

令，则不等式等价为当时，恒成立，即函数在上为增函数；

，则在上恒成立；

∴；即恒成立，

令，∴；

∴在上为增函数；∴；∴；

∴.

∴的取值范围是.

故选：C.

本题考查构造函数，运用导函数解决不等式恒成立的问题，构造合适的函数是关键，属于较难题．

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9.如图是函数的导函数的图象，则（）

A.在时，函数取得极值

B.在时，函数取得极值

C.的图象在处切线的斜率小于零

D.函数在区间上单调递增

AD

利用函数极值点的定义可判断A、B；根据导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系可判断C、D.

由图可知，是导函数的一个变号零点，

故当时，函数取得极值，选项A正确；

不是导函数的一个变号零点，

故当时，函数不能取得极值，选项B错误；

的图象在处的切线斜率为，选项C错误；

当时，，此时函数单调递增，选项D正确．

故选：AD．

本题考查了导数函数极值点的定义、导数与函数单调性的关系，属于基础题.

10.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（）

A.2=2

B.

C.轴，且

D.四边形的内切圆过焦点，

BD

对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可．

,由条件得到，即或（舍，解得：，所以不正确；

,若，则由射影定理可得：，

即，所以，即，，

解得；所以正确；

，若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，

所以，所以不正确；

，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，

圆心到直线的距离等于，

因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，

由题意知：，又，整理得：，，，

解得，

所以，所以正确，

故选：．

11.已知圆，点是圆上的动点，则下列说法正确的有（）

A.圆关于直线对称B.直线与的相交弦长为

C.的最大值为D.的最小值为

ACD

验证圆心是否过直线判断A，求出相交弦长判断B，把变以代入圆方程，利用判别式不小于0判断C，利用原点到圆心的距离求得最小值判断D．

圆标准方程是，，半径为，

易得点在直线上，A正确；

点到直线的距离为，弦长为，B错；

由得代入圆的方程整理得，

，，所以的最大值是，C正确；

，，所以的最小值是，D正确．

故选：ACD．

关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题关键，圆的弦长一般用几何法求解，即求出圆心到直线的距离后用勾股定理计算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用几何意义求解，如分式型可以用直线斜率，平方型利用两点间距离求解．

12.已知函数，下述结论正确的是（）

A.存在唯一极值点，且

B.存在实数，使得

C.方程有且仅有两个实数根，且两根互为倒数

D.当时，函数与的图象有两个交点

ACD

对进行求导可得，利用导数研究函数的单调性和极值，逐个判断即可得解.

对进行求导可得：

，显然为减函数，

，

故存在，使得，

并且，，为增函数，

，，为减函数，

故为极大值点，所以A正确；

所以，

可得：，

因为，所以，故B错误，

若是的一解，即，

则，

故和都是的解，故C正确，

由，可得，

令，

，

令，

因为，所以，

故为减函数，

而，

所以当，，即，为增函数

，，即，为减函数，

所以，

故当，有两个解，故D正确.

故选：ACD.

本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了方程双根问题，同时考查了虚设零点问题以及二次求导问题，是导数作为选择题压轴题的典型题型，对思路要求和计算能力要求非常高，属于难题.

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是________.

.

把圆方程化为标准形式，结合已知与，即可求解.

∵圆的标准方程为：，

∴圆的半径为4，

∴，

∵，∴，

∴椭圆的标准方程是.

本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.

14.已知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为_____________．

.

试题分析：原题等价于方程有两个大于零实数根．

因为

所以

所以，即

设

要使方程有两个大于零实数根需要满足，即

解得

所以的取值范围为

考点：1．导函数的几何意义；2．二次函数的根的分布．

15.函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为__________．

根据题意构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再将，转化为，根据的单调性可求得结果.

令，则，

因为，所以，

因为，

所以，

所以在上为减函数，

由，得，

所以，

因为在上为减函数，

所以，

所以不等式的解集为，

故答案为：

16.已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+1）2＝1，直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点A．若a＝1，则直线l截圆C所得弦的长度为__；若过l上一点P作圆C的切线，切点为Q，且，则实数a的取值范围是__．

①.②.

（1）当a＝1时，圆心半径已知，直接用垂径定理求弦长；

（2）由题意得到

PQ

＝

PB

，建立关于m的方程，根据方程有解，，求出a的范围.

当a＝1时，圆心C（1，0），r＝1，

则圆心C到直线l的距离d，

所以弦长＝22；

由题得圆心C（a，a﹣1），即有C在直线y＝x﹣1上运动，

不妨设P（﹣m，﹣m+2），过P作PB⊥x轴，则有

PA

PB

，

又因为

PA

PQ

，所以

PQ

＝

PB

，

因为PQ2＝PC2﹣r2＝（﹣m﹣a）2+（﹣m+2﹣a+1）2﹣1，

则有（﹣m+2）2＝（﹣m﹣a）2+（﹣m+2﹣a+1）2﹣1，

整理得m2﹣2m+2a2﹣6a+4＝0，

问题可转化为上述方程有解，

则＝22﹣4（2a2﹣6a+4）＝﹣8a2+24a﹣12≥0

解得a∈，

故答案为：．

（1）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．

（2）坐标法是解析几何的基本方法.

四、解答题:本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字、说明、证明过程或演算步骤.

17.在矩形ABCD中，已知AD=6，AB=2，E，F为AD的两个三等分点，以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

（1）求以E，F为焦点，DC和AB所在直线为准线的椭圆的标准方程;

（2）求以A，D为焦点，且过点F的双曲线的标准方程.

（1）

（2）

（1）设椭圆的方程为，由已知求得a，b，c，可求得所求的椭圆方程；

（2）设双曲线的方程为，由已知求得a，b，c，可求得所求的双曲线方程.

解：由已知设椭圆的方程为，

由于焦点F的坐标为，对应的准线为，

所以，解得，

所以所求的椭圆方程为：；

解：由已知设双曲线的方程为，

由于焦点D的坐标为，点F的坐标为，

所以，

所以所求的双曲线方程为：.

18.已知数列成等差数列，各项均为正数的数列成等比数列，，且，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

（1）；；（2）.

（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得通项公式；

（2）由裂项相消法求和．

解：（1）因为是等比数列，所以，又，所以，

设等差数列的公差为，

由，两式相减得，，

所以，，

所以，

而，所以．

（2）由（1）得，

．

本题考查求等比数列和等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．考查运算求解能力，属于中档题．.

19.已知函数.

（1）当a=1，b=-1时，求f（x）的极值；

（2）当时，记函数在区间上的最大值为M，最小值为N，求M-N的最大值.

（1）极大值为，极小值为1

（2）1

（1）对求导，得到的单调性，即可求出f（x）的极值.

（2）利用函数的导数求出函数的单调区间，进一步求出最值，可得，再对求导，即可求出答案.

当a=1，b=时,，

所以，

令，解得：或，

令，解得：，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在上取得极大值，且，

所以在上取得极小值，且.

当时，，

，令，

解得：或，

所以在上单调递减，在上单调递增，

则，

因为，所以

所以

所以，令，

，所以函数在上单调递减，

.所以M-N的最大值为.

20.已知点，分别为线段上的动点，且满足

（1）若求直线的方程；

（2）证明：的外接圆恒过定点（异于原点）．

（1）（2）详见解析

试题分析：（1）求直线CD的方程，只需确定C，D坐标即可：，，直线的斜率，直线的方程为．

（2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：设，则D，从而解之得,,整理得，所以△的外接圆恒过定点为．

试题解析：（1）因为，所以，1分

又因为，所以，所以，3分

由，得，4分

所以直线的斜率，5分

所以直线的方程为，即．6分

（2）设，则．7分

则，

因为，所以，

所以点的坐标为8分

又设的外接圆的方程为，

则有10分

解之得,,

所以的外接圆的方程为，12分

整理得，

令，所以（舍）或

所以△的外接圆恒过定点为．14分

考点：直线与圆方程

21.设、是椭圆上的两点，已知向量，，若且椭圆的离心率，短轴长为，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；

（3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

（1）

（2）

（3）的面积为定值，证明见解析

（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合以及韦达定理可求得实数的值；

（3）先考虑直线斜率不存在的情况，即，，根据，求得和的值，直接求出的面积；当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示出和，再利用，弦长公式及三角形面积公式求得答案.

解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.

解：设的方程为，代入得，

，

由韦达定理可得，，

，解得.

证明：①直线斜率不存在时，即，，

因为，且，可得，则，，

则；

②当直线斜率存在时，设的方程为，

联立得，

，

由韦达定理可得，，

因为，

即

，整理可得，

，

原点到直线的距离为，

所以，.

综上所述，的面积为定值.

方法点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；

②直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值.

22.已知函数

（1）证明为奇函数，并在R上为增函数；

（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）设，当时，，求b的最大值.

（1）证明见解析

（2）

（3）2

（1）由奇函数的定义证明奇函数即可；求导证得，即可证明在R上为增函数；

（2）参变分离将题设转化为，换元令得，结合基本不等式求得的最大值，即可求解；

（3）先整理出，再求导因式分解得，分和讨论得出单调性，结合即可求解.

因为，，则为奇函数；

，当且仅当即时取等，故在R上为增函数；

由得，即在上恒成立，

令，则，又，

当且仅当即时取等，则；

，

，

由（1）知，，当时，，则，当且仅当时取等，

所以，在R上单增，又，则当时，；

当时，，当时，若满足即

解得时，，又，则当时，，不合题意；

综上：，故b的最大值为2.