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江苏省丹阳高级中学-学年度高一下期中试卷 数学（17-19班）.4 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若椭圆的右焦点为，则（） A.6B.C.2D. B 由题意知椭圆的焦点在x轴，从而得出b、c，然后根据求m． 因为椭圆的右焦点为，所以，， 所以，则． 故选：B． 本题主要考查椭圆的标准方程的应用，属于基础题． 2.已知曲线的方程为，则曲线在点处的切线方程为（） A.B.C.D. A 利用导数求出所求切线的斜率，然后利用斜截式可得出所求切线的方程. 对函数求导得，所求切线的斜率为， 因此，曲线在点处的切线方程为. 故选：A. 本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于基础题． 3.在数列中，已知，则（） A.B.C.D. D 由，得到，利用等比数列的定义得到数列表示首项为，公比为的等比数列，进而求得，得到答案. 由，可得，即， 又由，可得， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列， 则，即. 故选：D. 4.已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为（） A.或－B.或－ C.D. B 根据等腰直角三角形边长可求得弦长，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，根据垂径定理构造方程可求得结果. 为等腰直角三角形，又， 又圆的圆心到直线距离 ，解得：， 故选：B． 本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、垂径定理的应用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为，属于常考题型. 5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（） A.里B.96里C.48里D.24里 B 由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得. 由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得，解得， 第此人第二天走里. 故选：B． 6.已知圆和直线，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点是，则的最大值是（） A.B.C.D. C 根据几何关系可知，当时，到直线上的点的距离最小，此时最大，可求出的最大值，从而可得的最大值. 如图，由几何知识可知，．所以当最大时，也最大． 当时，到直线上的点的距离最小为，此时， 所以取得最大值为，从而的最大值是. 故选：C 关键点点睛：解题关键是转化思想的应用，将角的大小与长度的大小建立关系. 7.椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，，，则（） A.B.C.D. C 设，，结合余弦定理可得，结合椭圆的定义可得，，，可将用进行表示，代入即可得结果. 设，，由， ∴， 由椭圆的定义可得，，， 所以，解得， 故. 故选：C. 本题主要考查焦点三角形的知识，解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，属于中档题. 8.已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（） A.B.C.D. C 由已知将原不等式等价于恒成立，构造函数，求导在上恒成立，运用参变分离可得选项． ∵对于任意的，且，都有成立， ∴不等式等价为恒成立， 令，则不等式等价为当时，恒成立，即函数在上为增函数； ，则在上恒成立； ∴；即恒成立， 令，∴； ∴在上为增函数；∴；∴； ∴. ∴的取值范围是. 故选：C. 本题考查构造函数，运用导函数解决不等式恒成立的问题，构造合适的函数是关键，属于较难题． 二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分. 9.如图是函数的导函数的图象，则（） A.在时，函数取得极值 B.在时，函数取得极值 C.的图象在处切线的斜率小于零 D.函数在区间上单调递增 AD 利用函数极值点的定义可判断A、B；根据导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系可判断C、D. 由图可知，是导函数的一个变号零点， 故当时，函数取得极值，选项A正确； 不是导函数的一个变号零点， 故当时，函数不能取得极值，选项B错误； 的图象在处的切线斜率为，选项C错误； 当时，，此时函数单调递增，选项D正确． 故选：AD． 本题考查了导数函数极值点的定义、导数与函数单调性的关系，属于基础题. 10.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（） A.2=2 B. C.轴，且 D.四边形的内切圆过焦点， BD 对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可． ,由条件得到，即或（舍，解得：，所以不正确； ,若，则由射影定理可得：， 即，所以，即，， 解得；所以正确； ，若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合， 所以，所以不正确； ，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知， 圆心到直线的距离等于， 因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离， 由题意知：，又，整理得：，，， 解得， 所以，所以正确， 故选：． 11.已知圆，点是圆上的动点，则下列说法正确的有（） A.圆关于直线对称B.直线与的相交弦长为 C.的最大值为D.的最小值为 ACD 验证圆心是否过直线判断A，求出相交弦长判断B，把变以代入圆方程，利用判别式不小于0判断C，利用原点到圆心的距离求得最小值判断D． 圆标准方程是，，半径为， 易得点在直线上，A正确； 点到直线的距离为，弦长为，B错； 由得代入圆的方程整理得， ，，所以的最大值是，C正确； ，，所以的最小值是，D正确． 故选：ACD． 关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题关键，圆的弦长一般用几何法求解，即求出圆心到直线的距离后用勾股定理计算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用几何意义求解，如分式型可以用直线斜率，平方型利用两点间距离求解． 12.已知函数，下述结论正确的是（） A.存在唯一极值点，且 B.存在实数，使得 C.方程有且仅有两个实数根，且两根互为倒数 D.当时，函数与的图象有两个交点 ACD 对进行求导可得，利用导数研究函数的单调性和极值，逐个判断即可得解. 对进行求导可得： ，显然为减函数， ， 故存在，使得， 并且，，为增函数， ，，为减函数， 故为极大值点，所以A正确； 所以， 可得：， 因为，所以，故B错误， 若是的一解，即， 则， 故和都是的解，故C正确， 由，可得， 令， ， 令， 因为，所以， 故为减函数， 而， 所以当，，即，为增函数 ，，即，为减函数， 所以， 故当，有两个解，故D正确. 故选：ACD. 本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了方程双根问题，同时考查了虚设零点问题以及二次求导问题，是导数作为选择题压轴题的典型题型，对思路要求和计算能力要求非常高，属于难题. 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是________. . 把圆方程化为标准形式，结合已知与，即可求解. ∵圆的标准方程为：， ∴圆的半径为4， ∴， ∵，∴， ∴椭圆的标准方程是. 本题考查椭圆的标准方程，属于基础题. 14.已知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为_____________． . 试题分析：原题等价于方程有两个大于零实数根． 因为 所以 所以，即 设 要使方程有两个大于零实数根需要满足，即 解得 所以的取值范围为 考点：1．导函数的几何意义；2．二次函数的根的分布． 15.函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为__________． 根据题意构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再将，转化为，根据的单调性可求得结果. 令，则， 因为，所以， 因为， 所以， 所以在上为减函数， 由，得， 所以， 因为在上为减函数， 所以， 所以不等式的解集为， 故答案为： 16.已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+1）2＝1，直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点A．若a＝1，则直线l截圆C所得弦的长度为__；若过l上一点P作圆C的切线，切点为Q，且，则实数a的取值范围是__． ①.②. （1）当a＝1时，圆心半径已知，直接用垂径定理求弦长； （2）由题意得到 PQ ＝ PB ，建立关于m的方程，根据方程有解，，求出a的范围. 当a＝1时，圆心C（1，0），r＝1， 则圆心C到直线l的距离d， 所以弦长＝22； 由题得圆心C（a，a﹣1），即有C在直线y＝x﹣1上运动， 不妨设P（﹣m，﹣m+2），过P作PB⊥x轴，则有 PA PB ， 又因为 PA PQ ，所以 PQ ＝ PB ， 因为PQ2＝PC2﹣r2＝（﹣m﹣a）2+（﹣m+2﹣a+1）2﹣1， 则有（﹣m+2）2＝（﹣m﹣a）2+（﹣m+2﹣a+1）2﹣1， 整理得m2﹣2m+2a2﹣6a+4＝0， 问题可转化为上述方程有解， 则＝22﹣4（2a2﹣6a+4）＝﹣8a2+24a﹣12≥0 解得a∈， 故答案为：． （1）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算． （2）坐标法是解析几何的基本方法. 四、解答题:本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字、说明、证明过程或演算步骤. 17.在矩形ABCD中，已知AD=6，AB=2，E，F为AD的两个三等分点，以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， （1）求以E，F为焦点，DC和AB所在直线为准线的椭圆的标准方程; （2）求以A，D为焦点，且过点F的双曲线的标准方程. （1） （2） （1）设椭圆的方程为，由已知求得a，b，c，可求得所求的椭圆方程； （2）设双曲线的方程为，由已知求得a，b，c，可求得所求的双曲线方程. 解：由已知设椭圆的方程为， 由于焦点F的坐标为，对应的准线为， 所以，解得， 所以所求的椭圆方程为：； 解：由已知设双曲线的方程为， 由于焦点D的坐标为，点F的坐标为， 所以， 所以所求的双曲线方程为：. 18.已知数列成等差数列，各项均为正数的数列成等比数列，，且，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. （1）；；（2）. （1）由等差数列和等比数列的基本量法求得通项公式； （2）由裂项相消法求和． 解：（1）因为是等比数列，所以，又，所以， 设等差数列的公差为， 由，两式相减得，， 所以，， 所以， 而，所以． （2）由（1）得， ． 本题考查求等比数列和等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．考查运算求解能力，属于中档题．. 19.已知函数. （1）当a=1，b=-1时，求f（x）的极值； （2）当时，记函数在区间上的最大值为M，最小值为N，求M-N的最大值. （1）极大值为，极小值为1 （2）1 （1）对求导，得到的单调性，即可求出f（x）的极值. （2）利用函数的导数求出函数的单调区间，进一步求出最值，可得，再对求导，即可求出答案. 当a=1，b=时,， 所以， 令，解得：或， 令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上取得极大值，且， 所以在上取得极小值，且. 当时，， ，令， 解得：或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，所以 所以 所以，令， ，所以函数在上单调递减， .所以M-N的最大值为. 20.已知点，分别为线段上的动点，且满足 （1）若求直线的方程； （2）证明：的外接圆恒过定点（异于原点）． （1）（2）详见解析 试题分析：（1）求直线CD的方程，只需确定C，D坐标即可：，，直线的斜率，直线的方程为． （2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：设，则D，从而解之得,,整理得，所以△的外接圆恒过定点为． 试题解析：（1）因为，所以，1分 又因为，所以，所以，3分 由，得，4分 所以直线的斜率，5分 所以直线的方程为，即．6分 （2）设，则．7分 则， 因为，所以， 所以点的坐标为8分 又设的外接圆的方程为， 则有10分 解之得,, 所以的外接圆的方程为，12分 整理得， 令，所以（舍）或 所以△的外接圆恒过定点为．14分 考点：直线与圆方程 21.设、是椭圆上的两点，已知向量，，若且椭圆的离心率，短轴长为，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值； （3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. （1） （2） （3）的面积为定值，证明见解析 （1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合以及韦达定理可求得实数的值； （3）先考虑直线斜率不存在的情况，即，，根据，求得和的值，直接求出的面积；当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示出和，再利用，弦长公式及三角形面积公式求得答案. 解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为. 解：设的方程为，代入得， ， 由韦达定理可得，， ，解得. 证明：①直线斜率不存在时，即，， 因为，且，可得，则，， 则； ②当直线斜率存在时，设的方程为， 联立得， ， 由韦达定理可得，， 因为， 即 ，整理可得， ， 原点到直线的距离为， 所以，. 综上所述，的面积为定值. 方法点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： ①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关； ②直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 22.已知函数 （1）证明为奇函数，并在R上为增函数； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，当时，，求b的最大值. （1）证明见解析 （2） （3）2 （1）由奇函数的定义证明奇函数即可；求导证得，即可证明在R上为增函数； （2）参变分离将题设转化为，换元令得，结合基本不等式求得的最大值，即可求解； （3）先整理出，再求导因式分解得，分和讨论得出单调性，结合即可求解. 因为，，则为奇函数； ，当且仅当即时取等，故在R上为增函数； 由得，即在上恒成立， 令，则，又， 当且仅当即时取等，则； ， ， 由（1）知，，当时，，则，当且仅当时取等， 所以，在R上单增，又，则当时，； 当时，，当时，若满足即 解得时，，又，则当时，，不合题意； 综上：，故b的最大值为2. |
